Crea un ícono que cambia de estado según si se esta o no conectado a Internet. Notar que se pueden cambiar más propiedades del botón que las que este simple ejemplo cambia.

#!/usr/bin/env python
#-*- coding:utf-8 -*-

from Tkinter import *
import socket
root = Tk()
# Comprobador de conexion a Internet
inet = Button(root, bitmap='info', fg='green', bg='white')
inet.pack(pady=20, padx=20)
#
try:
    socket.gethostbyname('google.com')
    c = socket.create_connection(('google.com', 80), 1)
    m = socket.gethostbyname('google.com')
    print m  # imprime la ip de google.com para pruebas
    c.close()
except socket.gaierror:
    print (" ERROR: DNS Error... ")
    inet.config(bitmap='error', fg='red', bg='black') # cambia a un icono de error
except socket.error:
    print (" ERROR: Connection error... ")
    inet.config(bitmap='error', fg='red', bg='black') # cambia a un icono de error
#
root.mainloop()